a2 次元の場合観測者と音源の移動方向が一直線上にない場合、図を見ても分かるように、波長 𝜆 というものをどう定義してよいか、 よくわからない。それに、音源が移動するため、観測地点を通過する波の進行方向は変化していく。 1 周期内で考えても、先端から始まって山と谷、後端まで、それぞれが異なる方向に速度 c で進んでいくものを観測することになる。音源が静止の場合音源が移動する場合LSLSそこで、時間軸の図を描く方法と、音源の式から観測者の受け取る波の式を求める方法を採用しよう。簡単のため、先ずは観測者もしくは音源のどちらか一方を媒質に対して固定し、片方だけが移動する場合をそれぞれ分けて考える。
1. 音源が移動する場合
時間軸の図を描く方法問題設定：幹線道路を緊急車両がサイレンを鳴らしながら通り過ぎるのを、少し離れたところから聞いている状況をモデル化してみよう。周波数 𝜈S で音波を発する音源 S が、x 軸上を等速度 VS で移動している。観測者 L は x 軸から h だけ離れた場所におり、移動はしない。S から L を見る方向と、x 軸のなす角度が 𝜃 の時に発せられた音波を、L が観測するときの周波数 𝜈L を求めよ。ここで h は、音源が静止している場合の波長 𝜆=c
𝜈S よりも十分に大きいものとする。LSVS𝜃xh考察：角度が 𝜃 の時の S と L の距離を r とする。そこから一周期分の波を出す間に S が移動する距離 𝛥x は、𝛥x =VS1
𝜈Sとなる。その時の S を S* とし、 L との距離を r* とする。LS𝜃xhrr*𝛥xS*𝛥x =VS
𝜈S<𝜆 より、これは成り立つ。任意の経路への拡張音源が任意の経路をとる場合への拡張は容易だろう。ここまでの導出では、音源が等速度で直線運動することは実は要請されておらず、一周期分の波を発する間の移動距離が微小で直線近似ができればそれで十分であった。一般の経路を考えるにあたり、音源 S の速度ベクトル VS(t′) の変化がゆっくりで、一周期 𝛥t′=1
𝜈S を微小量として扱えることを仮定する。すると、S の 𝛥t′ 間の変位ベクトルは、𝛥s(t′)≃VS(t′)𝛥t′と各周期ごとに一次近似できるので、全く同じ議論を進めることができる。ここでも、音源と観測者の距離は音源静止の場合の波長に比べて、十分に大きいものとする。𝜃(t′)VS(t′)LSr(t′)n(t′)n(t)波面c𝛥s(t′)時刻 t′ に S から見た、観測者方向の単位ベクトルを n(t′) とすると、これは S から発せられた球面波のうち、時刻 t=t′+r(t′)
c に観測者 L の受け取る波面の、進行方向の単位ベクトル n(t) でもある（最初にも書いたように、 L に観測される波面の進行方向は時々刻々と変化するので、まさにその瞬間に発せられた波面の進行方向となる）。VS(t′) と n(t′) のなす角度を 𝜃(t′) として、先ほど（音源が等速度運動）の場合と同じ考え方を辿ることにより、時刻 t′ に発せられた波を時刻 t に観測者が受け取る際の周波数は
𝜈L
=c
c-VS(t′)cos𝜃(t′)𝜈S
=c
c-VS(t′)⋅n(t′)𝜈S
で与えられる。ところで、観測者 L との距離を r(t′) とすると、VS(t′)cos𝜃(t′) は、観測者方向への速度成分なので、値が正のとき、r(t′) は減少することになる。よってdr
dt′=-VS(t′)cos𝜃(t′)となるから、𝜈L は、dr
dt′ を用いて、𝜈L=c
c+dr
dt′𝜈Sと表すこともできる。これまでと異なり、dr
dt′ は r が大きくなる方向（音源が観測者から遠ざかる方向）が正となるため、符号が一見、逆になっていることに注意。観測者は固定、音源のみ移動の場合の 2 次元におけるドップラー効果は、音源と観測者の距離 r の時間的変化の割合 dr
dt′ にのみ、ひいては r(t′) の 1 変数のみに依存することが分かった。見方を変えると、この式は L を原点とし、S を通る直線 r 軸上で、観測者は固定、音源は速度 -dr
dt′ で観測者に近づいてくる場合の、1 次元のドップラー効果の式と一致していることになる（ S が移動するのに合わせて、逐次、 r 軸をとりなおすことにはなるが）。VS(t′)LSr(t′)r-dr
dt′O2 次元における音源移動のドップラー効果には、音源の移動速度のうち、波の進行方向成分のみが寄与する。これは大変興味深く、また至極まっとうな結論だと思う。例題：メリーゴーランドの音源一定の角速度で反時計回りに回転するメリーゴーランド上の音源 S を、外から観測しているときのドップラー効果を求めよ。音源の周波数 𝜈S、速度の大きさは VS とする。解答：観測者 L から回転円に接線を引き、接点をそれぞれ P,Q とする。また、L と円の中心を結ぶ線上の点を M,N とする。LPNMQr(t′)SVS(t′)𝜃(t′)aVS(t′)a=VS で一定、進行方向と 観測者の方向のなす角度 𝜃(t′) は点 Q で 0 、点 N で 𝜋
2 、点 P で 𝜋、点 M で再び 𝜋
2 となるので、
𝜈L Max
=𝜈LaQ=c
c-VS𝜈S
𝜈L Min
=𝜈LaP=c
c+VS𝜈S
S の時間に沿った移動を点 M から追っていくと、点 M から発せられる音波は音源の周波数 𝜈S で、移動につれて増加し、点 Q で最大、そこから減少して点 N で 𝜈S に戻り、さらに減少を続けて、点 P で最小、そこから増加に転じ、点 M で 𝜈S に戻るといったサイクルを繰り返すことになる。音源の式から観測地点の式を求める方法音源と、観測者の距離 r(t′) の変化がドップラー効果を与えることが分かったので、音源を表す式A(t′)=Asin(-2𝜋𝜈St′)に、観測者が波を受け取る時刻 t と t′ の関係t=t′+r(t′)
と表すこともできる。この式は S を原点とし、L を通る直線 r 軸上で、音源は固定、観測者は速度 dr
dt で音源から遠ざかる場合の、1 次元のドップラー効果の式と一致していることになる（ L が移動するのに合わせて、逐次、 r 軸をとりなおすことにはなる）。SLVL(t)dr
dtOrr(t)2 次元における観測者移動のドップラー効果には、観測者の移動速度のうち、波の進行方向成分のみが寄与する。音源が移動する場合と同様、観測者が移動の場合も、観測者と音源を結ぶ直線上での 1 次元のドップラー効果に帰着することが分かった。いづれも、速度は波の進行方向成分のみが寄与している。今回もまた、直感どおりの結論となってくれて、ありがたい。例題：メリーゴーランドの観測者音源と観測者の立場を入れ替えよう。周波数が最大、最小となる点は、メリーゴーランドに音源の場合と同じだが、値は少々異なる。一定の角速度で反時計回りに回転するメリーゴーランド上の観測者 L が、固定音源（周波数 𝜈S）を観測しているときのドップラー効果を求めよ。観測者の速度の大きさは VL とする。解答：音源 S から回転円に接線を引き、接点をそれぞれ P,Q とする。また、S と円の中心を結ぶ線上の点を M,N とする。SPNMQr(t)LVL(t)𝜃(t)aVL(t)a=VL で一定、観測者の進行方向と波の進行方向との方向のなす角度 𝜃(t) は点 Q で 𝜋 、点 N で 𝜋
2 、点 P で 0、点 M で再び 𝜋
2 となるので、
𝜈L Max
=𝜈LaQ=c+VL
c𝜈S
𝜈L Min
=𝜈LaP=c-VL
c𝜈S
L の時間に沿った移動を点 M から追っていくと、点 M で受け取られる音波は音源の周波数 𝜈S で、移動につれて増加し、点 Q で最大、そこから減少して点 N で 𝜈S に戻り、さらに減少を続けて、点 P で最小、そこから増加に転じ、点 M で 𝜈S に戻るといったサイクルを繰り返すことになる。音源の式から求める方法時刻 ta に観測者の受け取る波を考えたい。音源移動の場合と同じように、音源を表す式A(t′)=Asin(-2𝜋𝜈St′)と、音源と観測者の距離を r(t) として、観測者が波を受け取る時刻 t と t′ の関係t=t′+r(t)
cから導出する。今度は r は t の関数となることに注意。単純に代入して、A(t)=sin(-2𝜋𝜈S(t-r(t)
c))が求める解となるが、やはり sin の中身は t の一次項とは限らないため、周波数についてはよくわからない。観測者が時刻 t=ta 付近に受け取った波の挙動を知りたいので、 r(t) を一次近似して、r(t)≃r(ta)+dr
