Noether (ネーター) の定理
　　　━━ 系の対称性と保存則


Noether の恒等式 今度は両端を固定しない変分を考えよう。位置 (qi,…) の変分だけでなく、時間 t の変分もあわせて考える。 曲線 C (qi(t),…) に対し、qi の変分 𝛿qi の描く曲線（図の破線）に、t の変分 𝛿t を作用させることにより、試行曲線 C' (qi'(t'),…) が定まる。a
qi'(t')= qi(t)+𝛿qi(t)
t'=t+𝛿t(t)
 𝛿qi(t) は異なる時刻間の変分となるため、扱いずらい。そこで、C と C' の同時刻での変分を改めて 𝛿Lqi(t) と定義する。 𝛿Lqi(t)≡qi'(t)-qi(t)添え字の L は Lagrange 方程式を求めたとき、やはり同時刻の変分を用いたから(端点は固定だったが)。
各変分は全て微小量であるとして、一次の変分までの近似を求めると、
qi'(t')≡qi(t)+𝛿qi(t)
≡qi'(t+𝛿t) ≂qi'(t)+dqi'
dt𝛿t=qi(t)+𝛿Lqi(t)+d(qi+𝛿Lqi)
dt𝛿t
≂qi(t)+𝛿Lqi(t)+dqi
dt𝛿t
∴ 𝛿qi(t)=𝛿Lqi(t)+␒qi(t)𝛿t
以後、混乱を避けるため、␒ （上付きドット） は時間 t による微分のみに使うことにする。 作用積分として、C の時刻 [t1,t2] における作用積分 I と、C' の対応する時刻 [t'1, t'2] における I' を比較してみよう。
I=L(qi,␒qi,t)dt
I'=L(qi',dqi'
dt',t')dt'
I'-I が求めたいものだが、ちょっとした式変形が必要である。 I' について、t' →t への変数変換を行うと、
dt'
dt=1+d𝛿t
dt		t't'1=t1+𝛿t(t1)→t'2=t2+𝛿t(t2)
tt1→t2
を用いて、
I'=L(qi',dqi'
dt',t')dt'
dtdt
=L(qi',dqi'
dt',t')(1+d𝛿t
dt)dt
あとは L の変数を置き換えればよい。各項を求めておこう。dt'
dt dt
dt'=1 ⇒(1+d𝛿t
dt)dt
dt'=1 1 次までの近似で、(1+d𝛿t
dt)(1-d𝛿t
dt)=1だから、dt
dt'=1-d𝛿t
dtこちらも 1 次までの近似で、
dqi'
dt'		=dt
dt' dqi'
dt≂(1-d𝛿t
dt)d
dt(qi(t)+𝛿Lqi(t)+dqi
dt𝛿t)
≂␒qi+d
dt(𝛿Lqi)+␒␒qi𝛿t+␒qi␒𝛿t-␒qi␒𝛿t
=␒qi+d
dt(𝛿Lqi)+␒␒qi𝛿t
L(qi',dqi'
dt',t') を L(qi,␒qi,t) のまわりで展開してやると、
L(qi',dqi'
dt',t')		=L(qi+𝛿Lqi+dqi
dt𝛿t, ␒qi+d
dt(𝛿Lqi)+␒␒qi𝛿t, t+𝛿t)
≂L(qi,␒qi,t)+ ∑i{∂L
∂qi (𝛿Lqi+dqi
dt𝛿t)+∂L
∂␒qi(d
dt(𝛿Lqi)+␒␒qi𝛿t)}
+∂L
∂t 𝛿t
これで部品は出揃った。I'-I を求めよう。
I'-I=L(qi',dqi'
dt',t')(1+d𝛿t
dt)-L(qi,␒qi,t) dt
≂ ∑i{∂L
∂qi (𝛿Lqi+dqi
dt𝛿t)+∂L
∂␒qi(d
dt(𝛿Lqi)+␒␒qi𝛿t)}+∂L
∂t 𝛿t+L d𝛿t
dt dt
= ∑i{∂L
∂qi 𝛿Lqi+∂L
∂␒qid
dt(𝛿Lqi)}+dL
dt𝛿t+L d𝛿t
dt dt
= ∑i[{∂L
∂qi -d
dt(∂L
∂␒qi)}𝛿Lqi+d
dt(∂L
∂␒qi𝛿Lqi+L𝛿t) ]dt
2 行目から 3 行目は L の時間微分をまとめ、 3 行目から 4 行目は部分積分を行った。この式は、変分の 1 次までの近似で常に成り立つ。これを Noether の恒等式という。 作用積分 I と I' の比較は次のセクションで行おう。いよいよ、 Noether の定理。
Noether の定理 Noether の恒等式をよく見てみると、第 1 項には見慣れた数式が含まれている。正しく、Lagrange 方程式と全く同じ形ではないか！従って、曲線 C を実際に実現される曲線とすると、第 1 項は消える。
I'-I= ∑id
dt(∂L
∂␒qi𝛿Lqi+L𝛿t) dt
=[ ∑i∂L
∂␒qi𝛿Lqi+L𝛿t]t2t1
 ここでもしも、任意の [t1,t2] について、I'-I=0 ならば、 ∑i∂L
∂␒qi𝛿Lqi+L𝛿t=const.𝛿Lqi を元の変分 𝛿qiで表すと、 ∑i∂L
∂␒qi𝛿qi-(∂L
∂␒qi␒qi-L)𝛿t=const. 「作用積分を不変とするような 𝛿qi,𝛿t の組に対して、Lagrange 方程式のもと、 一つ保存則が存在する。」 これを Noether の定理という。 一般には I'-I は 0 とならないだろう。むしろ、0 となる方が稀なように思える。また、あまりに高尚に過ぎて何を言っているのか、よく分からない、というのが正直なところで、この定理の使い方について、さらなる説明が必要だろう。 そのために、どのような場合にこれが成り立つのかを考えることにしよう。それは、系に何らかの対称性が見られる場合であり、それに対応した 𝛿qi, 𝛿t をうまく選んでやると、𝛿I=0 が実現され、一つ保存則が決まるよ、ということになる。 Lagrange 方程式を導出する際は、作用積分が停留値をとることを要求し、そのためには、変数の変分は任意にとれなければならなかったが、今回の場合は、「 ∀（任意の）」ではなく、「 ∃（ある）」変分の組に対して成立すればよい。 以下、具体例を挙げよう。
Noether の定理 ：空間推進対称性と運動量保存則 N 粒子系の Lagrangian L がL= ∑i,j1
2mi ␒r2i+V(| ri-rj |)と表されるとき、微小平行移動a
𝛿ri(t)=𝜖i
𝛿t(t)=0
を変分としてとったとき、 L は不変である。このことを、系は空間推進に対して対称性を持つ、という。したがって、微小平行移動 𝜖i について作用積分 I も不変だから I'-I=0 である。 このとき、 Noether の定理は、
∑i∂L
∂␒qi𝛿qi		= ∑i∂L
∂␒ri∙𝜖i=const.
= ∑imi ␒ri∙𝜖i =const. for ∀𝜖i
∴ ∑imi ␒ri=P=const.
全運動量は保存する。有限な大きさの平行移動は、無限小の平行移動の積み重ねで与えられるから、 「系が空間推進に対して対称性を持つとき、全運動量は保存する」。
Noether の定理 ：空間回転対称性と角運動量保存則 同様に、N 粒子系の Lagrangian L= ∑i,j1
2mi ␒r2i+V(| ri-rj |)は、微小回転a
𝛿ri(t)=ri×e 𝛿𝜃
𝛿t(t)=0
を変分としてとったときも、不変である。このことを、系は空間回転に対して対称性を持つ、という。したがって、空間の微小回転 ri×e 𝛿𝜃 についても作用積分 I は不変だから I'-I=0 である。 このとき、 Noether の定理は、
∑i∂L
∂␒qi𝛿qi		= ∑i∂L
∂␒ri∙ri×e 𝛿𝜃=const.
= ∑i(∂L
∂␒ri×ri)∙e 𝛿𝜃
=- ∑i(ri×mi ␒ri)∙e 𝛿𝜃 =const. for ∀e 𝛿𝜃
∴ ∑i(ri×mi ␒ri)= ∑i(ri×pi)=const.
全角運動量は保存する。有限な大きさの回転は、無限小の回転の積み重ねで与えられるから、 「系が空間回転に対して対称性を持つとき、全角運動量は保存する」。 最後に時間推進の対称性について話そう。
Noether の定理 ：時間推進対称性とエネルギー保存則 系の Lagrangian L が陽に時間 t を含まない時、微小な時間推進a
𝛿qi(t)=0
𝛿t(t)=𝜖
に対して、 L は不変である。このことを、系は時間推進に対して対称性を持つ、という。したがって、時間の微小移動 𝜖 について作用積分 I も不変だから I'-I=0 である。 このとき、 Noether の定理は、
-( ∑i∂L
∂␒qi␒qi-L)𝛿t		=-( ∑i∂L
∂␒qi␒qi-L)𝜖=const. for ∀𝜖
∴ ∑i∂L
∂␒qi␒qi-L 		= ∑ipi␒qi-L=H=const.
まだ共役運動量 pi と Hamiltonian H については説明していないが、 H はエネルギーに相当する量で、これが保存する。有限な大きさの時間推進は、無限小の時間推進の積み重ねで与えられるから、 「系が時間推進に対して対称性を持つとき、エネルギーは保存する」。 Noether の定理の使い方が分かっていただけただろうか?こうして、系が時空に関して対称性を持つと、それに応じて保存則が成り立つことが分かった。 自分の中で、この関係性は全く予想もしていなかったので、初めて出遭ったとき、本当にびっくりした。しかも、言わんとするところがよく分からなかった。その指し示す意味が「こういうことか！」と自分なりにつかめたと感じたときは心底、うれしかったものです。 Noether 女史カッコイイ。 そして、宇宙はエレガントである。 Lagrange 形式について、いくつか積み残したことがあるので、説明しておこう。

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