拘束力　その１
　　　━━ あえて知りたい時もある


ここまでの考え方 ホロノーム系（束縛条件が全て、 g(x,y,z;t)=0 の形で表される場合）に話を限ると、原理的に束縛条件の数だけ自由度を減らした一般化座標で議論を進めることができ、そこでは各変数は独立であった（Lagrange形式　束縛条件と自由度 ）。 簡単な例として、球面振り子と円錐振り子を考えよう。 なお、本チャプターでは拘束力の項が入ってくるので、Newton の運動方程式と符号を合わせる意味もあって、時間の 2 階微分の項が正となるよう、 Lagrange 方程式の符号をこれまでとは逆にとっている。もともと、右辺は 0 だったから、混乱もないだろう。
例題：球面振り子と円錐振り子── 配位空間、一般化座標で 質量 m のおもりに、長さ l の、おもりに比べて軽くて伸び縮みしない、剛体棒をつけて、球面振り子として運動させる。剛体棒による束縛条件は、質点 m の、 O からの距離が l 一定で、結果、質点 m は球面上を運動することになる。配位空間は半径 l の球面で、質点の自由度は、一つ減って 3-1=2。一般化座標としては、極座標 (r,𝜃,𝜑) のうち、(𝜃,𝜑) を採用する。
運動エネルギーは、K=1
2m(l2 ␒𝜃2+ l2sin2𝜃 ␒𝜑2)位置 O を基準として、ポテンシャルエネルギーは、U=mglcos𝜃から、L=K-U=1
2m(l2 ␒𝜃2+ l2sin2𝜃 ␒𝜑2)-mglcos𝜃 質点 m の従うべき Lagrange 方程式は以下となる。
d
dt(∂L
∂␒𝜃)-∂L
∂𝜃		=ml2␒␒𝜃-ml2sin𝜃 cos𝜃 ␒𝜑2-mglsin𝜃=0
d
dt(∂L
∂␒𝜑)-∂L
∂𝜑		=d
dt(ml2sin2𝜃 ␒𝜑)=0
なお、第 2 式は 𝜑 について循環座標であり、角運動量保存を表している。 初期条件をうまく選んでやることにより、𝜃=𝜃0 ,␒𝜑=𝜔 の円錐振り子が実現できる。
その条件は、第 1 式から、ml(lcos𝜃0 𝜔2+g)sin𝜃0=0 𝜃0=0,𝜋 （直立）は円錐振り子とはならないので除いて、𝜔2=-g
lcos𝜃0𝜔2>0 から、𝜋
2<𝜃0<𝜋 が要求されるので、改めて振り子と垂線の成す角度 𝛼≡𝜋-𝜃0 として、𝜔2=g
lcos𝛼 おや？ポテンシャルエネルギーとして考慮されたのは重力 mg 起因のものだけである。Newton の運動方程式では剛体棒からの張力が式中に出てきたが、Lagrange 形式では考える必要はないのだろうか？ その通り。必要ない。 棒の張力は、棒の長さが変らないように、言い換えると、束縛条件が破られないように働くもので、これを拘束力という。 一般化座標、すなわち配位空間で Lagrange 方程式を考える場合、Lagrangian を書き下した時点で、ホロノーム系の束縛条件はすでに取り込み済みとなるため、個々に働く拘束力は考慮する必要がない。従って、式中にも出てこない。また、定義から、配位空間内の任意の点は束縛条件を満たすので、配位空間内でどのような軌跡をとってみても、束縛条件については破られることはない。 そもそも拘束力は、棒や斜面など、アボガドロ数個の原子と対象（のこれまたアボガドロ数個の原子）との間でやり取りされる力の総和で、その大きさを計算することは不可能である。そのため、Newton 力学では、運動方程式を原理として認め、方程式が正しいとする前提で、運動方程式と拘束条件を連立させ、まずは拘束力を消去して軌跡を求めた後、今度はその運動方程式を用いて拘束力を逆算していた。 その点、Lagrange 形式では拘束力以外の、重力場や電磁場など、外部から働く力だけを考慮すればよいので、すっきりしていて、理論としても優れていると思う。 しかし、時には剛体棒が壊れないためには、どれくらいの力に耐えられればよいのか、働く張力の大きさを知りたい場合もあるだろう。また、原点と質点を結ぶものが剛体棒ではなく、糸だった場合、張力は原点に向かう方向にしか取れないので（式の上で張力が原点から遠ざかる方向になる場合は、現実には糸がたわんで実現されない）、ホロノーム系にさらに制約がつくことになる。 本チャプターではホロノーム系に限って、そのあたりを少し調べてみよう。
拘束力 ── R3N の座標系で　 N 個の粒子系を考える。各質点の位置を表すため、R3N 空間を用意し、その座標成分を(x1,...,x3N) とし、系の Lagrangian L を、各座標成分とその時間微分を用いて、L=L(xi,␒xi;t);　i=1,...,3Nと書き下しておく。この時、束縛条件なしとして運動エネルギー T を、ポテンシャルエネルギー U は外部から働く、既知の力を与えるものだけとして、その差 T-U を L とすればよい。例えば斜面に沿った運動では、斜面に垂直方向の運動はないが、運動エネルギーとして、垂直方向の成分も「何も考えずに」加えておけばよく、ポテンシャルエネルギーは重力ポテンシャルだけを考えればよい。 L は全 R3N 空間（もしくは全 R3N×R3N 空間）で定義されている。 与えられた束縛条件を、f(xi,x3N;t)=0 ; i=1,...,3N-1とする。束縛条件には少なくとも一つの座標成分が含まれるから、x3N が含まれるものとしてよい。そして、この式は原理的に x3N について解くことができる。x3N=𝜑(xi,t) ; i=1,...,3N-1一般化座標、配位空間として、(q1,...,q3N-1)≡(x1,...,x3N-1) を採用しよう。 1 粒子、3 次元で、束縛条件が時間によらない場合の例を図に示す。 (q1,q2) は、束縛条件 f(x,y,z)=0 を満たす曲面上にとられた座標系となっていることに注意。束縛条件を満たす経路は配位空間上の軌跡となる。
 L も (q1,...,q3N-1) で書き直すと、L(xi,␒xi,x3N,␒x3N;t)⇒L(xi,␒xi,𝜑(xi,t),␒𝜑(xi,t);t)≡L(q1,...,q3N-1,␒q1,...,␒q3N-1;t) ; i=1,...,3N-1 この時点で L の定義域は束縛条件を満たす空間、すなわち配位空間に限定される。 　{q1,...,q3N-1} は独立だから、I≡L (qi,␒qi;t)dt ; i=1,...,3N-1の停留値を与える軌跡は、 Euler-Lagrange 方程式で与えられる。d
dt(∂L
∂␒qi)-∂L
∂qi=0 ; i=1,...,3N-1これは自由度 3N-1 の場合の Euler-Lagrange 方程式の導出に他ならない。 この L(q1,...,q3N-1;t) を用いた、qi(t) についての方程式を、 L(xi,␒xi,x3N,␒x3N;t) を用いた、xi(t) についての方程式に書き換えたい。 x3N の時間微分␒x3N=␒𝜑(xi,t)=3N-1∑j=1∂𝜑
∂xj␒xj+∂𝜑
∂tと、この両辺を ␒xi で偏微分することで、 ∂␒𝜑
∂␒xi=∂𝜑
∂xiに注意して、Euler 方程式の各項を求める。
∂L
∂qi		=∂L
∂xi+∂L
∂x3N∂𝜑
∂xi+∂L
∂␒x3N∂␒𝜑
∂xi
=∂L
∂xi+∂L
∂x3N∂𝜑
∂xi+∂L
∂␒x3N(3N-1∑j=1∂2𝜑
∂xi∂xj␒xj+∂2𝜑
∂xi∂t)
 t で微分する項の中身は、
∂L
∂␒qi		=∂L
∂␒xi+∂L
∂␒x3N ∂␒𝜑
∂␒xi
=∂L
∂␒xi+∂L
∂␒x3N ∂𝜑
∂xi
から、
d
dt(∂L
∂␒qi)		=d
dt(∂L
∂␒xi)+d
dt(∂L
∂␒x3N)∂𝜑
∂xi+∂L
∂␒x3Nd
dt(∂𝜑
∂xi)
=d
dt(∂L
∂␒xi)+d
dt(∂L
∂␒x3N)∂𝜑
∂xi+∂L
∂␒x3N (3N-1∑j=1∂2𝜑
∂xi∂xj␒xj+∂2𝜑
∂xi∂t)
 よって、 Euler 方程式は d
dt(∂L
∂␒qi)-∂L
∂qi=d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi+(d
dt(∂L
∂␒x3N)-∂L
∂x3N)∂𝜑
∂xi=0 ; i=1,...,3N-1と書き直される。 束縛条件 f(xi,x3N;t)=0 の x3N を 𝜑 で置き換えて xi で偏微分すると、∂f
∂xi+∂f
∂x3N∂𝜑
∂xi=0 ; i=1,...,3N-1上記 2 式をそれぞれ移項して比をとることで、
d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi
∂f
∂xi		=(d
dt(∂L
∂␒x3N)-∂L
∂x3N)∂𝜑
∂xi
∂f
∂x3N∂𝜑
∂xi
=(d
dt(∂L
∂␒x3N)-∂L
∂x3N)
∂f
∂x3N =const. ≡𝜆(t)
こうして、3N 本の方程式 d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi=𝜆(t)∂f
∂xi ; i=1,...,3Nが得られた。 これと、束縛条件f(xi,x3N;t)=0 ; i=1,...,3N-1 を合わせて 3N+1 本の方程式に、未知の変数は (x1(t),...,x3N(t),𝜆(t)) の 3N+1 個。これは解くことができる。 よって、束縛条件 f(xi;t)=0 のもと、 R3N 空間 (x1,...,x3N) において質点系が従う方程式は、a
d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi=𝜆(t) ∂f
∂xi ; i=1,...,3N
f(xi;t)=0
で与えられる。今までの Lagrange 方程式と比べて、新しく右辺に出てきた 𝜆(t)∂f
∂xi は、系が束縛条件を満たすように作用する項で、拘束力と呼ぶ。この後にでてくる例題で見るように、糸の張力や床からの垂直抗力がこれにあたる。 また、導出の過程を逆に辿ってやることにより、 R3N 空間では右辺に拘束力 𝜆∂f
∂xi を含んでいた運動方程式が、配位空間では右辺に拘束力を含まず、 0 となること、すなわちホロノーム系では、拘束力を考慮する必要がないことが分かるだろう。 補足：導出の過程で、「原理的に x3N について解くことができる」として話を進めたが、束縛条件を満たす全領域（配位空間全体）に渡ってこれが成り立つとは限らない。しかし、ある局所領域に限っては成り立つだろう。 x3N について解くことができない、別の局所領域については、例えば xj について解くことができるから、そこでの一般化座標を (x1,...,xj-1,xj+1,...,x3N) として同じように考えてやればよい。こうして、複数の局所座標で配位空間全体を覆うことができる。 また、「一般化座標、配位空間として、(q1,...,q3N-1)≡(x1,...,x3N-1) を採用しよう」としたが、一般化座標を元の R3N 空間の座標 xi ではなく、より一般的な座標系 (Q1,...,Q3N-1) とした場合ではどうなのか？という疑問については、Lagrange 形式の共変性を思いだそう。ある領域で、一般化座標として (Q1,...,Q3N-1) が与えられたとき、点変換(Q1,...,Q3N-1)⇒(q1,...,q3N-1)≡(x1,...,x3N-1) などにより、 R3N 空間の元の座標に戻してやり、議論を進めればよい。
Lagrange の未定乗数法と束縛条件が複数の場合への拡張 同じ結果を与える興味深い考え方があるので、紹介しよう。Lagrange の未定乗数法と呼ばれている。 束縛条件を f(xi;t)=0 とし、(xi,␒xi)に 𝜆 も変数に加えた R3N×R3N×R の空間を考える。この空間内の経路 C# は (xi(t),␒xi(t),𝜆(t)) と表される。 この経路に対する変分問題に帰着させたいが、解曲線を含む試行曲線も、その変分を取った比較曲線も、意味のある曲線は、R3N×R (xi,𝜆) 座標系における各曲線に対し、 ␒xi 成分を xi(t) の時間微分とすることで R3N×R3N×R (xi,␒xi,𝜆) 座標系に持ち上げたものだけなので、それらを変分問題の対象とすることにする。要するに、変分は 𝛿xi, 𝛿𝜆 でとり、 ␒xi 成分の変分は独立ではなく、 d
dt(𝛿xi) とするということである。 具体的に比較曲線 C#' は、次のようになる。 R3N×R (xi,𝜆) 座標系 における解曲線 C (xi(t),𝜆(t))に変分 𝛿xi, 𝛿𝜆 をとった曲線C' (xi+𝛿xi,𝜆+𝛿𝜆)を考え、 ␒xi 成分を ␒xi(t)=d(xi(t)+𝛿xi(t))
dt として元の曲線を R3N×R3N×R (xi,␒xi,𝜆) 座標系に持ち上げた、曲線 (xi+𝛿xi,d
dt(xi+𝛿xi),𝜆+𝛿𝜆) を比較曲線 C#' とする。
束縛条件は、その条件を満たす経路を考えることで結果的に取り込めるので、各点の Lagrangian L(xi,␒xi;t) は、束縛条件を考慮せず、 R3N×R3N における運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差をそのまま書き下せばよい。そもそも、 R3N×R3N は束縛条件を満たす空間よりも広いので、全ての点で L(xi,␒xi;t) が定義されるべきことを考えると、そうしておくのが自然だろう。 関数 G を、G(xi,␒xi,𝜆;t)≡L(xi,␒xi;t)+𝜆(t)f(xi;t)と定義し、経路の両端の条件として
𝛿xi(ts)=𝛿xi(tE)=0
𝛿𝜆(ts)=𝛿𝜆(tE)=0
のもと、G の時間積分が停留値をとるような経路 C を求める。 ␒xi については始点、終点の条件は要請しない。𝛿Gdt=𝛿L(xi,␒xi;t)+𝜆f(xi;t)dt=0は、部分積分を経て、
{-(d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi)𝛿xi+𝜆 ∂f
∂xi 𝛿xi+f 𝛿𝜆}dt		=0
∴ {-(d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi-𝜆 ∂f
∂xi )𝛿xi+f 𝛿𝜆}dt		=0
この条件設定では、各 𝛿xi,𝛿𝜆 は独立だから、 G の時間積分が停留値をとるような経路の満たす方程式は、a
d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi=𝜆 ∂f
∂xi ; i=1,...,3N
f=0
となる。 変数を一つ増やすことにより、被積分関数に、新たな変数の係数として束縛条件を取り込み、結果、新変数を含めた各変数の変分を独立として扱うことで、束縛条件付きの停留値問題を束縛条件無しの停留値問に置き換えている。 ピンとくるかどうかはさておき、なかなか巧妙な方法だと思う。 独立な束縛条件が {f𝜇(xi;t)=0} ;𝜇=1,...,m と複数ある場合への拡張は容易たろう。変数を{𝜆𝜇(t)} ;𝜇=1,...,m と取ることで、G(xi,␒xi,𝜆j;t)≡L(xi,␒xi;t)+𝜆𝜇f𝜇(xi;t)と定義することにより、同様の手順で、束縛条件付きの停留値問題の満たすべき方程式は、a
d
dt(∂L
∂␒xi)-∂L
∂xi=𝜆𝜇 ∂f𝜇
∂xi 　; i=1,...,3N, 𝜇=1,...,m
f𝜇=0 ;　𝜇=1,...,m
で与えられる。 例題として、先ほどの球面振り子と円錐振り子を考えてみよう。
例題：球面振り子と円錐振り子── R3Nの座標系で 設定は一般化座標の例題と同一とする。 質量 m のおもりに、長さ l の、おもりに比べて軽くて伸び縮みしない、剛体棒をつけて、球面振り子として運動させる。剛体棒による束縛条件は、質点 m の、 O からの距離が l 一定で、結果、質点 m は球面上を運動することになる。 質点の位置を指定するのに、極座標 (r,𝜃,𝜑) を用いる。
 束縛条件を考慮せず、 R3N×R3N における運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差をそのまま書き下せばよかったから、運動エネルギーとして、動径方向の成分も「何も考えずに」加えておく。運動方程式と、拘束条件を連立させることで、拘束条件が反映されることになる。 運動エネルギーは、K=1
2m(␒r2+r2 ␒𝜃2+ r2sin2𝜃 ␒𝜑2)位置 O を基準として、ポテンシャルエネルギーは、U=mgrcos𝜃から、L=K-U=1
2m(␒r2+r2 ␒𝜃2+ r2sin2𝜃 ␒𝜑2)-mgrcos𝜃 拘束条件 f(r,𝜃,𝜑)=r-l=0 より、　(∂f
∂r,∂f
∂𝜃,∂f
∂𝜑)=(1,0,0) 質点 m の従うべき Lagrange 方程式と束縛条件は以下となる。a
d
dt(∂L
∂␒r)-∂L
∂r=𝜆∂f
∂r
⇒m␒␒r-mr(␒𝜃2+sin2𝜃 ␒𝜑2)+mgcos𝜃=𝜆
d
dt(∂L
∂␒𝜃)-∂L
∂𝜃=𝜆∂f
∂𝜃
⇒ mr2␒␒𝜃-mr2sin𝜃 cos𝜃 ␒𝜑2-mgrsin𝜃=0
d
dt(∂L
∂␒𝜑)-∂L
∂𝜑=𝜆∂f
∂𝜑
⇒d
dt(mr2sin2𝜃 ␒𝜑)=0
f(r,𝜃,𝜑)=r-l=0
 拘束条件を各式に代入すると、a
-ml(␒𝜃2+sin2𝜃 ␒𝜑2)+mgcos𝜃=𝜆
ml2␒␒𝜃-ml2sin𝜃 cos𝜃 ␒𝜑2-mglsin𝜃=0
d
dt(ml2sin2𝜃 ␒𝜑)=0
第 2,3 項は一般化座標 (𝜃,𝜑) で導出した式と一致し、第 1 項は r の増す方向を正とした、張力を表す式となっている。 原点と質点を結ぶものが剛体棒ではなく、糸だった場合、原点方向を正とした張力 T≡-𝜆 は正でなければならないから、T≡-𝜆=ml(␒𝜃2+sin2𝜃 ␒𝜑2)-mgcos𝜃 > 0が要求されることになる。 初期条件をうまく選んでやることにより、𝜃=𝜃0 ,␒𝜑=𝜔 の円錐振り子が実現できる。
その条件は、第 2 式から、ml(lcos𝜃0 𝜔2+g)sin𝜃0=0 𝜃0=0,𝜋 （直立）は円錐振り子とはならないので除いて、𝜔2=-g
lcos𝜃0𝜔2>0 から、𝜋
2<𝜃0<𝜋 が要求されるので、改めて振り子と垂線の成す角度 𝛼≡𝜋-𝜃0 として、𝜔2=g
lcos𝛼張力は、T≡-𝜆=mlsin2𝛼 𝜔2+mgcos𝛼当然だが、𝜔 が大きいほど、張力 T は大きくなる。
束縛条件と配位空間の関係 ── 滑らかな拘束力 ここで、複数の束縛条件と配位空間の関係をもう一度考えてみよう。 N 粒子系において、m 個の独立な束縛条件{f𝜇(xi;t)=0} ;𝜇=1,...,mを課すと、自由度は 3N-m 個となり、配位空間 Q は、R3N 内の超曲面上の局所座標系 (q1,...,q3N-m)で表現された。これを R3N 内の座標系 (x1,...,x3N)でみると、超曲面上の点は、xi=xi(q1,...,q3N-m;t)と、qi,t の変数として表されることになる。解曲線 C も、微小変位させた試行曲線 C' も、配位空間上にあるということは、どちらも束縛条件を全て満たすということである。 配位空間、つまりは超曲面上の、同時刻 t における変分 (𝛿qj) は、R3N 内の座標系 (x1,...,x3N)では𝛿xi=∂xi
∂qj 𝛿qjとなるので、
f𝜇(xi;t)=0
f𝜇(xi+∂xi
∂qj 𝛿qj;t)		=f𝜇(xi;t)+∂f𝜇
∂xi (∂xi
∂qj 𝛿qj)+O((∂xi
∂qj 𝛿qj)2)=0
より、∂f𝜇
∂xi (∂xi
∂qj 𝛿qj)=0となる。束縛条件を満たす任意の変分 𝛿xi=(∂xi
∂qj 𝛿qj) は、超曲面の、各点における接平面（接空間）を張るから、 超曲面の接平面と、ベクトル (∂f𝜇
∂xi)=(∂f𝜇
∂x1,...,∂f𝜇
∂x3N)≡∇f𝜇 は、直交していることになる。各 𝜇=1,...,m についてこれが成り立ち、各束縛条件に対する法線ベクトル { ∇f1 ,..., ∇fm } は独立を仮定していたので、超曲面の各点における接平面は、m 個の法線ベクトル { ∇f1 ,..., ∇fm } の張る空間（m 次元）の直交補空間（3N-m 次元）となっていることが分かった。 これまで、独立な束縛条件とあっさり書いていたが、「独立な」とは、実はこのこと、超曲面上の各点で、法線ベクトル { ∇f1 ,..., ∇fm } が独立なこと、すなわち、各点で行列(∂f𝜇
∂xi) ;𝜇=1,...,m i=1,...,3N のランクが m であることであった。 拘束力 𝜆𝜇(t)∂f𝜇
∂xi=𝜆𝜇(t) ∇f𝜇 は法線ベクトル { ∇f1 ,..., ∇fm } の線形結合だから、拘束力も超曲面の法線方向を向いている。超曲面と接する方向には拘束力が働かないという意味で、これを「滑らかな」拘束力と呼ぶ。 ここまでで、拘束力の基本的な説明は終わり。式の導出が続き、少々長くなってしまったので、本チャプターはここまでとしよう。 滑らかな拘束力 N は、配位空間に対して垂直と説明したばかりだが、拘束条件が時間に依存する、レオノーマスの場合には、R3N 内の解曲線の経路に沿った微小変位と、 N は直交するとは限らない。このことの説明と、拘束条件が微小変位や速度に関するものである場合への拡張を行う。 R3N と配位空間の関係についての理解もより深まることと思う。

< previous |
| next >