aLagrange 形式ここまでの話の流れをまとめてみよう。系の特徴を表す Lagrangian L が与えられたとき、始点、終点の位置を固定した L の時間積分を作用（積分）といい、これを停留値とするような経路が実際に系のとる運動である、とする最小作用の原理を出発点とし、これに変分法を用いて、偏微分方程式へと帰着させた。自由度 f の場合、 L(qi,…,␒qi)に対する Euler-Lagrange 方程式∂L
∂qi-d
dt(∂L
∂␒qi)=0 for i=1,…,fを特に Lagrange 方程式、この方程式を用いて力学系を扱う体系をLagrange 形式と呼ぶ。これが現実に自然を記述しているかは実験によって検証されなければならないが、慣性系のデカルト座標における Lagrange 方程式が既に検証済みの Newton の運動方程式と一致するのを確認する、という手もある。慣性系として x-y-z 座標系をとり、ポテンシャル・エネルギー U(x,y,z) 中を運動する質量 m の質点の運動 (x(t),y(t),z(t)) を考える。Newton の運動方程式は、
m␒␒x
=-∂U
∂x
m␒␒y
=-∂U
∂y
m␒␒z
=-∂U
∂z
となる。一方、一粒子系の場合、L≡T-U=1
2m(␒x2+␒y2+␒z2)-U(x,y,z)と選んでやると、
∂L
∂x-d
dt(∂L
∂␒x)
=-∂U
∂x-d
dt(m␒x)
=-∂U
∂x-m␒␒x=0
∴ m␒␒x
=-∂U
∂x
y,z についても同様。慣性系のデカルト座標において Lagrange 方程式は Newton の運動方程式と一致することが示された。「わざわざ Lagrangian L を決めてやらねばならないし、それなら最初から Newton の運動方程式をたててやればいいんじゃないの? あえて Lagrange 形式を使う理由は何かあるの?」という疑問ももっともだが、それには第一に、ものの見方が違うこと、第二に、Newton の運動方程式ではうまく慣性座標系が取れない場合があること、それに絡んで第三に、Lagrange 形式は座標変換の見通しが大変よくなるので、問題を解くときに一番便利な座標系を容易に選ぶことができること、第四に、Lagrange 形式は力学の範疇を超えて、場の理論に拡張でき、電磁気学、さらには量子力学でも成り立つこと、を以って、その回答としよう。第一の、ものの見方が違うことに関して：Newton の運動方程式では現在の位置、速度の情報が初期条件として与えられると、少し先の未来が分かる、という描像だった。それに対して、Lagrange 形式は、その背後にもう一つ原理が潜んでいる。変分法を用いて、結果的に偏微分方程式に帰着してはいるものの、境界条件として、始点と終点の時刻と位置を指定してやると、作用（積分）が最小値（停留値）をとるような経路が実際に物体のとる経路となる、とする立場である。光に対するフェルマーの原理と相まって、同じ自然観で世界を捉えることができる点が非常に美しい。第二の Newton の運動方程式ではうまく慣性系が取れない場合の例については、次のセクションで紹介しよう。Lagrange 形式の例題：一様な太さのU字管内の液体の運動U字管内の液体の運動を考えよう。液体の全質量 M,単位長さあたりの質量を 𝜇 とし、液体は粘性無し、管との摩擦は無視できるものとする。座標系としては、管右側液面の、つり合いの位置からの変位 q を採用する。各点の管に沿った方向の速度は ␒qだから、運動エネルギー T は、T=1
2M␒q2ポテンシャル・エネルギー U は、つり合いの位置を基準点としてU=𝜇gq2となる（菅の左側つり合いの位置からの欠損部の質量 𝜇q が右側に移動したとして、垂直方向への移動距離は q だから）。
0qq
Lagrangian L は、L=T-U=1
2M␒q2-𝜇gq2 Lagrange 方程式は
∂L
∂q-d
dt(∂L
∂␒q)
=-2𝜇gq-d
dt(M␒q)=0
∴ M␒␒q
=-2𝜇gq
よって液体の運動は、 𝜔=2𝜇g
M の単振動となる。特に問題もなく、解答が得られたが、Newton の運動方程式に従って考えるとどうだろう?まず、慣性座標系を設定しなければならないが、管に沿った曲がった座標系を考えるのか?それはデカルト直交座標系ではないので、加速度の計算はさぞや大変だろう。直交座標系で考えたとしても、液体の進む方向が変化するので、これも簡単には Newton の運動方程式は立てられそうもない。正攻法ではちょっとどうしてよいか分からない。Newton 力学の範疇でやる場合はこうやる。同じ議論から、エネルギー保存則を書き下す。1
