aHamilton 方程式それぞれの変数空間がどのようなものであるか、添え字の上下は何を意味するのかはさておき、変数空間 (qi,␒qi,t),特性関数 L から、変数空間 (qi,pi,t),特性関数 H への Legendre 変換を行ってみよう。ここでも Einstein の規約（同じ添え字が上下に出現した場合は、その添え字について和を取る）を用いることにする。 L(qi,␒qi,t)の全微分は、dL=∂L
∂qidqi+∂L
∂␒qid␒qi+∂L
∂tdtとなるので、新変数 pi をpi≡∂L
∂␒qiとして、(qi,pi,t) での特性関数 H をH≡␒qipi-Lと定義してやる。 H が(qi,pi,t) の関数であることを確認しておこう。
dH
=␒qidpi+pid␒qi-∂L
∂␒qid␒qi-∂L
∂qidqi-∂L
∂tdt
=-∂L
∂qidqi+␒qidpi-∂L
∂tdt
≡∂H
∂qidqi+∂H
∂pidpi+∂H
∂tdt
これから直ちに
␒qi
=∂H
∂pi
∂H
∂t
=-∂L
∂t
が言える。解曲線 qi(t)は、元の空間 (qi,␒qi,t)において、 L についての Lagrange 方程式a
∂L
∂qi-d
dt(∂L
∂␒qi)=0
␒qi=dqi
dt
を満たすことが要請されていた。あえて 2 行目を書いたのは、 L が(qi,␒qi,t)空間全体で定義される、いわば場のようなものだということを強調したかったから。解曲線 qi(t)の、変換先の空間 (qi,pi,t)で満たすべき方程式を求めよう。 H の全微分と、新変数 pi の定義から、
d
dt(∂L
∂␒qi)
=∂L
∂qi=-∂H
∂qi
∴␒pi
=-∂H
∂qi
以上から、解曲線 qi(t)の、変換先の空間 (qi,pi,t)で満たすべき方程式はa
␒qi=∂H
∂pi
␒pi=-∂H
∂qi
となる。これを Hamilton 方程式といい、H を Hamiltonian、pi を（ qi の）共役運動量という。式中、qi と pi がセットで現れてくる事から「共役」（「役」は本来、対を表す「軛（くびき）」）を冠し、pi を運動量とみなしてよい理由としては、・デカルト座標系でポテンシャルに速度が含まれない場合、通常の mv運動量に一致すること・ L が、ある座標 qk を含まない、循環座標となっているならば、
2M␒q2ポテンシャル・エネルギー U は、つり合いの位置を基準点としてU=𝜇gq2となる（菅の左側つり合いの位置からの欠損部の質量 𝜇q が右側に移動したとして、垂直方向への移動距離は q だから）。
0qq
Lagrangian L は、L=T-U=1
2M␒q2-𝜇gq2 Lagrange 方程式は
∂L
∂q-d
dt(∂L
∂␒q)
=-2𝜇gq-d
dt(M␒q)=0
∴ M␒␒q
=-2𝜇gq
ここまでが復習。ここからがHamilton 形式としての例題。L を ␒qから p へ Legendre 変換を行う。p≡∂L
∂␒q=M␒q対応する H は、
H
=p␒q-L=p2
M-(p2
2M-𝜇gq2)
=p2
2M+𝜇gq2
Hamilton 方程式はa
␒q=∂H
∂p=p
M
␒p=-∂H
∂q=-2𝜇gq
これからa
M␒␒q
=-2𝜇gq
H の形をよく見てみると、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち系の全エネルギーになっているではないか！保存系に限るのかもしれないが、H を全エネルギーで表しておいて Hamilton 方程式を立てればよいのなら、謎の量 L を用いる Lagrange 形式よりも受け入れやすい気がする。次のセクションでこれを調べよう。Hamiltonian が陽に時間 t を含まない場合 L が陽に時間 t を含まない時、 Legendre 変換の結果である H も時間 t を陽に含まないが、それ以上に興味深い特徴がある。H(qi,pi,t) の時間微分を考えると、dH
dt=∂H
∂qi␒qi+∂H
∂pi␒pi+∂H
∂t我々が興味があるのは、現実に実現される曲線 C における H の振る舞いなので、考える経路を解曲線 qi(t)に限ると、Hamilton 方程式から、
dH
dtaC
=∂H
∂qi∂H
∂pi+∂H
∂pi(-∂H
∂qi)+∂H
∂t
=∂H
∂t
H が t を陽に含まない場合、dH
dtaC=0 i.e.H=Const. on Cよって解曲線に沿った移動に関して、 H は時間によらない、保存量となる。U字管の例でみたように、L=T-U の T が系の運動エネルギーを表している場合、H は系の全エネルギーを表す。これもこの先、正準変換にからめて説明するが、L の選び方には任意性があるため、必ずしもH は系の全エネルギーを表すとは限らない。しかしながら、量子力学で重要な役割を果たすHamilton 演算子は系の全エネルギーを表す Hamiltonian を量子化したものである。基本的に、H として系の全エネルギーを表すものを採用することにすればよいだろう。わずか数行の説明では、H のこの「興味深い特徴」が伝わらないといけないので、少々泥臭くなるが、同じことを元の(qi,␒qi,t)空間で行っておこう。
dH
dt
=d
dt(␒qipi-L(qi,␒qi,t))
=␒qi␒pi+␒␒qipi-␒qi∂L
∂qi-␒␒qi∂L
∂␒qi-∂L
∂t
=␒qi(␒pi-∂L
∂qi)+␒␒qi(pi-∂L
∂␒qi)-∂L
∂t
=␒qi(d
dt∂L
∂␒qi-∂L
∂qi)-∂L
∂t
3 行目から 4 行目は piの定義を用いた。よって、経路 C を解曲線 qi(t)に限ると、 Lagrange 方程式から、dH
dtaC=-∂L
∂t L が陽に時間 t を含まない場合、dH
dtaC=0 i.e.H=Const. on C解曲線に沿った移動に関して、 H は時間によらない、保存量となる。 Lagrange 形式では、 L ではなく、H に相当する␒qipi-L に「興味深い特徴」があることがお分かりいただけただろうか。あとは添え字の上下について、簡単に説明しておこう。 添え字の位置 / 各形式の舞台について ── ミニマルな説明 これまで、添え字の上下について特に説明はせず、Einstein の規約を使う上で便利だからと、␒qi, pi と添え字の位置を書き分けてきたが、実はそれには相応の理由があり、添え字の位置を逆にするわけにはいかなかった。その理由を説明しよう。前提として、速度、運動量は物理的実体、幾何学的対象であるべきなので、どの座標系からみても、基底コミで考えたとき、全体としては変らない、不変であることが要求される（変換に応じて変化するのは、各成分である）。そのため、 ␒qi, pi各成分の（点変換に対する）変換性を調べよう。配位空間 Q における変換 {qi}→{qi'(..qj..)}を考える（これを点変換という）。速度配位空間(qi,␒qi)において、 ␒qi の変換は、どう考えたらよいだろうか？速度配位空間では、qiと ␒qiは、互いに独立として扱うのではなかったか？繰り返しとなるが、変換とは、つまるところ、先ず、物理的実体として、配位空間に軌跡があり、それを速度配位空間の、ある座標系でみたとき、その座標成分(qi,␒qi)はこれこれ、こうなるが、他の座標系からみたらどうなりますか？ということである。そこで、試行曲線も含めて、任意の qi(t)を速度配位空間(qi,␒qi)で考えると、その軌跡 C (qi(t),␒qi(t))は、␒qi(t)=dqi
dtを満たす曲線となる。この軌跡 C の各成分がどのように変換を受けるかを考えることとする。
␒qi'(t)
≡dqi'
dt=∂qi'
∂qjdqj
dt
=∂qi'
∂qj␒qj(t)
となる。よって ␒qi の変換は、␒qi'=∂qi'
∂qj␒qjで与えられることになる。このことは、␒qiがベクトルの反変成分として変換することを示している（この変換性が反変成分の定義そのもの）。慣例として、反変成分の添え字は上につけ、対応する反変基底の添え字は下につける。速度が物理的実体、幾何学的対象であるためには、 Q 上の任意の点 A における接空間を TAQ として、␒qiが TAQ 上のベクトルの成分であることを要請すればよい。基底{eiaA}≡{∂
